证明borel-cantelli引理
定义：设$E_n$是一个事件序列，即$E_1,E_2……E_n$是独立事件。定义集合$A_m$如下：
$$A_m=\\bigcup_{n=m}^{\\infty}E_n$$
如果$$\\sum_{n=1}^{\\infty}P(E_n)<\\infty,$$那么$$P(A_m)\\rightarrow0,m\\rightarrow\\infty.$$
引理的背景
borel-cantelli引理是概率论中的一个基本定理，是由法国数学家emileborel和意大利数学家francescocantelli发现的。引理揭示了一个事件序列的重复发生概率随时间累加而趋于零的情况。
引理的证明
为了证明borel-cantelli引理，我们需要以下结论：
若$S_n=\\sum_{i=1}^nX_i,$其中$\\{X_n\\}$是一列随机变量，则：
1.弱大数定理：若$\\{X_n\\}$独立同分布，$EX_1<\\infty,$则$\\frac{1}{n}S_n\\rightarrowEX_1$。
2.kolmogorov定理：对于任意$\\epsilon<0$，若$\\{X_n\\}$服从下列条件：
a.$EX_n=0,n\\geq1$。
b.$\\sum_{n=1}^{\\infty}E(X_n^2)<\\infty,$
则对于任意$\\epsilon>0,Pr[\\max_{1\\leqk\\leqn}|S_k|>\\epsilonn]\\rightarrow0,n\\rightarrow\\infty$。
有了这两个结论，我们就可以证明borel-cantelli引理：
首先，将$E_n$分成两组：
$$E_n^{(1)}=\\{E_n\ext{至少发生一次}\\}$$
$$E_n^{(2)}=\\{E_n\ext{从不发生}\\}$$
我们有$A_m^{(1)}=\\bigcup_{n=m}^{\\infty}E_n^{(1)}.$
因为$E_n^{(1)}$相互独立，所以:
$$P(A_m^{(1)})\\leq\\sum_{n=m}^{\\infty}P(E_n^{(1)})$$
所以，如果$$\\sum_{n=m}^{\\infty}P(E_n)<\\infty$$那么$$P(A_m^{(1)})\\rightarrow0.$$
其次，考虑$A_m^{(2)}.$
$$\\begin{aligned}A_m^{(2)}&=\\bigcup_{n=m}^{\\infty}E_n^{(2)}\\\\&=\\bigcup_{n=m}^{\\infty}(\\Omega\\setminusE_n^{(1)})\\end{aligned}$$
设$F_m=\\bigcap_{n=m}^{\\infty}\\Omega\\setminusE_n^{(1)}.$
则$F_m$就是所有事件都从不发生的事件，即$F_m^c=\\bigcup_{n=m}^{\\infty}E_n^{(1)},$
所以$$P(F_m^c)=P(A_m^{(1)})\\rightarrow0,m\\rightarrow\\infty.$$
将$S_n=1_{E_n}$代入kolmogorov定理中，我们得到：
$$P(\\max_{1\\leqk\\leqn}|\\sum_{i=1}^kX_n|\\geq\\epsilonn)=P(A_n^{(1)})\\rightarrow0.$$
所以，$A_m^{(2)}\\subseteq\\max_{1\\leqk\\leqn}|\\sum_{i=1}^kX_n|$，进一步得到：
$$P(A_n^{(2)})\\leqP(\\max_{1\\leqk\\leqn}|\\sum_{i=1}^kX_n|>\\epsilonn)\\rightarrow0,n\\rightarrow\\infty.$$
综上所述，$$P(A_m)\\leqP(A_m^{(1)})+P(A_m^{(2)})\\rightarrow0,m\\rightarrow\\infty.$$
结论
borel-cantelli引理指出，如果事件序列的概率之和有限，则该序列在重复发生上限的概率趋向于零。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至3237157959@qq.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。