收敛半径：连接收敛性和复杂平面
R$中发散。当$|z|=R$时，则有可能收敛也有可能发散。
常见函数的收敛半径
下面，我们来简单介绍一些常见函数的收敛半径。对于正弦函数和余弦函数，
$$\\sin z=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\\quad \\cos z=\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}$$
它们的收敛半径均为$R=\\infty$。对于指数函数$e^z$，它的收敛半径为$R=\\infty$。对于对数函数$\\log(1+z)$，它的收敛半径为$R=1$。对于$z^n$，它的收敛半径为$R=1$。
定义和基本性质
在复杂分析中，收敛半径是非常重要的概念。在介绍收敛半径之前，我们需要先介绍一些基本概念。设$f(z)$是一个幂级数 $$f(z)=\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n z^n$$ 其收敛半径为 $$R=\\frac{1}{\\limsup_{n\o\\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}}.$$ 当$\\limsup_{n\o\\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}=+\\infty$时，$R=0$；当$\\limsup_{n\o\\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}=0$时，$R=+\\infty$。那么，$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n z^n$在$|z|例子
我们来考虑幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} z^n$的收敛半径。显然，在$|z|<1$时该幂级数绝对收敛，在$|z|>1$时发散。因此，$R=1$。注意到当$|z|=1$时，幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} z^n$对应的部分和序列就是一个有界的几何级数，因此它对应的幂级数必然收敛。 我们再来看一个例子，考虑幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} n! z^n$的收敛半径。经过计算，可以证明收敛半径为$R=0$。事实上，当$|z|<1$时，我们有 $$|a_n z^n|=\\frac{n!}{(n-1)!}|z|^n=n|z|^n.$$ 因此，$\\lim\\limits_{n\o\\infty} |a_n z^n|=\\infty$，即幂级数发散。当$z=0$时，幂级数显然收敛。复杂平面中的角度刻画
上述定义是一个纯粹的实数定义，它只考虑了$\\limsup$的大小。看起来好像与复数没有什么关系。然而，它的本质其实是来源于复杂平面中角度的刻画。 为了方便起见，我们设$s_n=\\sum_{k=0}^{n} a_k z^k$。定义$S=\\{z\\in\\mathbb{C}|s_n\ext{收敛}\\}$。显然，$0\\in S$。注意到$|s_{n+1}-s_n|$对应的部分和为 $$|a_{n+1}z^{n+1}|=|a_{n+1}||z|^{n+1}.$$ 由于$\\limsup_{n\o\\infty}\\sqrt[n]{|a_n|}=\\lim_{n\o\\infty}\\sqrt[n]{|a_n|}$，因此，当$\\sqrt[n]{|a_n|}小结
到目前为止，我们已经介绍了收敛半径的定义、幂级数的收敛性与复杂平面中角度的刻画。收敛半径在复杂分析中扮演着非常重要的角色。在实际的应用中，收敛半径有时也称为离散化误差，用于判断算法的稳定性。版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至3237157959@qq.com 举报，一经查实，本站将立刻删除。