中考数学题100题精选及答案（中考数学试题精选及答案）

中考数学试题精选及答案

一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，若点A(a，-1)，B(b，3)在x轴的同侧，且AB的中点在y轴上，则b-a的值是（　　）

A. 1　　　B. 2　　　C. 3　　　D. 4

答案：　B

2. 如图，甲乙两机房的距离是25米，从甲机房向乙机房传送一份文件，甲机房需要先将文件传送到中转站C，然后中转站C再传递给乙机房。若每秒钟最多能传送5米，则文件总传送时间的最小值是（　　）

A. 5秒　　　B. 6秒　　　C. 7秒　　　D. 8秒

答案：　C

二、计算题

1. 已知数列$\\left \\{ a_n \\right\\}$是一个等差数列，$a_{10}$$<$0，$a_{25}$=0，求$a_1$和$a_{70}$的和。

答案：

设$a_1$为等差数列的首项，公差为$d$。由已知，得：

$$\\begin{cases}a_{10}=a_1+9d<0\\\\\\\\a_{25}=a_1+24d=0\\end{cases}$$

由此解得：

$$\\begin{aligned}a_1&=-9d\\\\\\\\d&=\\frac{a_{25}}{25-1}=-\\frac{1}{24}\\end{aligned}$$

因此，

$$\\begin{aligned}a_1+a_{70}&=2a_1+(69-1)d\\\\\\\\&=2\imes (-9d)+(68)\imes (-\\frac{1}{24})\\\\\\\\&=-\\frac{3}{2}\\end{aligned}$$

答案为：-1.5

2. 在三角形ABC中，$AB=c=8$，$AC=b=12$，$\\angle C=60^{\\circ}$。求$\\sin A+\\cos A$的值。

答案：

由正弦定理得：

$$\\begin{aligned}BC^2&=AB^2+AC^2-2\imes AB\imes AC\imes\\cos C\\\\\\\\&=64+144-192\imes\\frac{1}{2}\\\\\\\\&=80\\end{aligned}$$

由余弦定理得：

$$\\begin{aligned} \\cos A&=\\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\imes AC\imes BC}\\\\\\\\&=\\frac{5}{8}\\end{aligned}$$

因此，

$$\\begin{aligned}\\sin A+\\cos A&=\\cos \\left(90^{\\circ}-A\\right)+\\cos A\\\\\\\\&=2\\cos \\left(\\frac{90^{\\circ}-A+A}{2}\\right)\\cos \\left(\\frac{90^{\\circ}-A-A}{2}\\right)\\\\\\\\&=2\\sin\\left(\\frac{A}{2}\\right)\\cos\\left(60^{\\circ}-\\frac{A}{2}\\right)\\\\\\\\&=2\\sin\\left(\\frac{A}{2}\\right)\imes\\frac{1}{2}\imes\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\\\\\\\&=\\sin A=\\frac{BC}{AC}\\\\\\\\&=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\end{aligned}$$

答案为：$\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$

三、证明题

1. 如图，点C为正方形ABCD的一条边上的点，连接AC、BC，延长BC分别交AD、DC于点E、F，则CE=DE。

证明：

∵ $\\angle ACD=\\angle AFE=\\angle ECB$

∴ ΔACD∽ΔAFB∽ΔECB

∴$\\dfrac{AD}{AC}=\\dfrac{AB}{AF},\\dfrac{AF}{CB}=\\dfrac{EC}{EB}$

∵ $AD+DC=AC=AB+BC $

∴$AD=AB+BC-DC=AF+CF-DC=AC-CD-CE=DE$

∴ $CE=DE$

证毕。

2. 证明：对于任意正整数$a$，$a^3-a$必能被6整除。

证明：

若 $a$ 为偶数，则 $a=2k$，其中 $k$ 为正整数。

则 $a^3-a=(2k)^3-(2k)=(2k)(4k^2-1)=2\imes k\imes (4k^2-1)$，必能被6整除。

若 $a$ 为奇数，则 $a=2k+1$，其中 $k$ 为正整数。

则 $a^3-a=(2k+1)^3-(2k+1)=(2k+1)[4k^2+4k+1-1]=2\imes(2k+1)\imes(2k^2+2k)$，必能被6整除。

综上所述，对于任意正整数$a$，$a^3-a$必能被6整除。

证毕。